符号逻辑，也称为形式逻辑或数理逻辑，是逻辑学的一个分支，涉及使用符号和规则对逻辑表达式进行形式化。它专注于以抽象术语而不是具体内容或含义研究逻辑原理和推理过程。在符号逻辑中，使用符号如字母、运算符和逻辑连接词来表示陈述和论证，从而可以精确分析逻辑关系和推理。符号逻辑在哲学、数学、计算机科学以及各种科学和工程领域被广泛应用于建模和分析逻辑系统和问题。
布尔代数源自数学家乔治·布尔（George Boole）。符号逻辑使用值、变量和操作：
- 真用值1表示。
- 假用值0表示。
变量用字母表示，可以有两个值之一，即0或1。
操作是一个或多个变量的函数。
- 逻辑与用X.Y表示。
- 逻辑或用X + Y表示。
- 非用X’表示。在本教程中将使用X’形式，有时也会使用!X。
这些基本操作可以组合成表达式。
例如：
- X
- X.Y
- W.X.Y + Z
优先级
与数学的其他分支一样，这些运算符有一个优先级顺序。非运算具有最高的优先级，其次是与运算，然后是或运算。可以像其他形式的代数一样使用括号。
例如：
- X.Y + Z 和 X.(Y + Z) 不是相同的函数。
函数定义
先前给出的逻辑运算定义如下：
定义f(X,Y)为变量X和Y的某些函数。
f(X,Y) = X.Y
- 如果X = 1 并且 Y = 1，则为1
- 否则为0
f(X,Y) = X + Y
- 如果X = 1 或者 Y = 1，则为1
- 否则为0
f(X) = X’
- 如果X = 0，则为1
- 否则为0
真值表
真值表是使用表格表示逻辑函数结果的一种方法。它们通过定义函数输入的所有可能组合，然后依次计算每个组合的输出来构建。
对于我们刚刚定义的三个函数，真值表如下所示：
与
|
X |
Y |
F(X,Y) |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
或
|
X |
Y |
F(X,Y) |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
非
|
X |
F(X) |
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
真值表可以包含任意数量的输入变量
F(X,Y,Z) = X.Y + Z
|
X |
Y |
Z |
F(X,Y,Z) |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
布尔开关代数
布尔开关代数是仅涉及两个值的变量的代数。布尔的一般理论涵盖了处理可以保存n个值的变量的代数。
公理
考虑一个集合S = {0，1}
考虑两个二元运算，+ 和 . ，以及一个一元运算，– ，作用于这些元素上。
[S，.，+，–，0，1] 被称为满足以下公设S的开关代数。
逻辑代数满足以下五个公理（是不需要我们推理的定律）
1. 封闭性公理
如果X ∈ S 并且 Y ∈ S，则 X.Y ∈ S
如果X ∈ S 并且 Y ∈ S，则 X+Y ∈ S
2. 0-1律
对于 + 运算: X + 0 = X；X + 1 = 1
对于 . 运算: X . 1 = X; X . 0 = 0
3. 交换律
X + Y = Y + X
X . Y = Y . X
4. 分配律
X.(Y + Z ) = X.Y + X.Z
X + Y.Z = (X + Y) . (X + Z)
5. 互补律
X + X’ = 1
X . X’ = 0
基本定理
对于开关代数，存在以下基本定理
1.自等律
X + X = X
X . X = X
2.摩根定律
(X + Y)’ = X’ . Y’
(X.Y) = X’ + Y’
证明(X + Y)’ = X’ . Y’的真值表：
|
X |
Y |
X+Y |
(X+Y)’ |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
X |
Y |
X’ |
Y’ |
X’.Y’ |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
证明 (X.Y) = X’ + Y’ 的真值表：
|
X |
Y |
X.Y |
(X.Y)’ |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
X |
Y |
X’ |
Y’ |
X’+Y’ |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
德摩根定律适用于任意数量的变量
3. 有界律
X + 1 = 1
X . 0 = 0
4. 吸收律
X + (X . Y) = X
X . (X + Y) = X
5. 消去律
X + (X’ . Y) = X + Y
X.(X’ + Y) = X.Y
6. 唯一补充定理
如果 X + Y = 1 且 X.Y = 0，则 X = Y’
7. 逆运算定理
X” = X
0′ = 1
8. 结合律性质
X + (Y + Z) = (X + Y) + Z
X . ( Y . Z ) = ( X . Y ) . Z
9. 对偶原理
在布尔代数中，对偶原理可以通过交换AND和OR运算符，并将0替换为1，1替换为0来得到。
将左边的恒等式与右边的恒等式进行比较。
例如：
X.Y+Z’ = (X’+Y’).Z
10. 共识定理
X.Y + X’.Z + Y.Z = X.Y + X’.Z
或者对偶形式如下
(X + Y).(X’ + Z).(Y + Z) = (X + Y).(X’ + Z)
证明 X.Y + X’.Z + Y.Z = X.Y + X’.Z:
|
X.Y + X’.Z + Y.Z |
= X.Y + X’.Z |
|
X.Y + X’.Z + (X+X’).Y.Z |
= X.Y + X’.Z |
|
X.Y.(1+Z) + X’.Z.(1+Y) |
= X.Y + X’.Z |
|
X.Y + X’.Z |
= X.Y + X’.Z |
(X.Y’+Z).(X+Y).Z = X.Z+Y.Z 代替 X.Z+Y’.Z
|
X.Y’Z+X.Z+Y.Z |
||
|
(X.Y’+X+Y).Z |
||
|
(X+Y).Z |
||
|
X.Z+Y.Z |
被遗漏的项被称为共识项。
给定一对术语，其中一个术语中出现一个变量，另一个术语中出现该变量的补码，然后通过将原始术语相乘来形成共识项，略过所选变量及其补码。
例如：
X.Y 和 X’.Z 的共识是 Y.Z
X.Y.Z 和 Y’.Z’.W’ 的共识是 (X.Z).(Z.W’)
wer
