什么是半加器？二进制加法如何在硬件中实现

计算机每秒可以完成数十亿次算术运算。

但是，在 CPU、ALU、寄存器以及复杂指令集的背后，所有算术运算其实都可以追溯到一个非常简单的问题：

数字电路究竟怎样把两个二进制位相加？

能够完成这种最基本加法运算的电路，叫做 半加器（Half Adder）。

半加器接收两个二进制输入，并产生两个输出：

• Sum（和）
• Carry（进位）

更有意思的是，一个最基本的半加器只需要两个逻辑门：

• 一个 XOR（异或）门
• 一个 AND（与）门

为什么只需要这两个门？

下面一步一步来看。

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1. 从二进制加法开始

在研究电路之前，我们先看看两个二进制位相加会出现哪些情况。

因为每一个二进制位只能是 0 或 1，所以两个 bit 相加一共只有四种可能：

前三种情况都很直观。

真正重要的是最后一种：

这里的结果需要 两个二进制位 才能表示。

右边的 0 是：

也就是加法结果的当前位。

左边的 1 是：

也就是进位。

因此，一个负责两个 bit 相加的电路，并不能永远只产生一个输出。

它必须产生两个输出：

这就是半加器的基本出发点。

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2. 两个输入，两个输出

假设半加器的两个输入分别是：

半加器产生两个输出：

从概念上看，可以表示成：

所以现在问题就变得很简单了：

应该使用什么逻辑来产生 S 和 C？

答案可以直接从所有可能的输入组合中找出来。

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3. 半加器的真值表

半加器完整的真值表如下：

A	B	Sum (S)	Carry (C)
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

这个小小的真值表，实际上已经包含了构建半加器所需要的全部信息。

接下来，我们分别观察 Sum 和 Carry 两个输出。

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4. 找到 Sum 电路

首先暂时忽略 Carry，只看 Sum 这一列。

A	B	S
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

观察这个规律。

当两个输入不同的时候：

输出是 1。

而当两个输入相同的时候：

输出是 0。

这正好就是 XOR（异或）门 的逻辑。

因此：

使用布尔代数符号表示：

所以，半加器中负责产生 Sum 的部分，其实就是一个 XOR 门：

到这里，我们已经完成了半加器的一半。

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5. 找到 Carry 电路

接下来再看 Carry 这一列：

A	B	C
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

可以看到，Carry 只有在一种情况下才会变成 1：

这正好就是 AND（与）门 的逻辑。

因此：

使用布尔代数表示：

对应的 Carry 电路就是：

现在，Sum 和 Carry 两部分都已经找到了。

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6. 完整的半加器电路

把 XOR 门和 AND 门组合起来，就得到了一个完整的半加器。

两个逻辑门接收完全相同的输入：

其中：

• XOR 门产生 Sum
• AND 门产生 Carry

所以，一个半加器可以用两个非常简单的布尔表达式描述：

或者：

这就是数字电子学中最简单的算术电路之一。

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7. 当 A = 0，B = 0 时会发生什么？

假设：

XOR 门输出：

AND 门输出：

把 Carry 和 Sum 放在一起：

也就是二进制：

因此：

结果就是十进制的 0。

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8. 当 A = 0，B = 1 时会发生什么？

现在输入变成：

XOR 门输出：

AND 门输出：

组合起来：

也就是：

所以：

它表示十进制的 1。

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9. 当 A = 1，B = 0 时会发生什么？

把两个输入交换：

XOR 门仍然输出：

AND 门输出：

因此：

也就是：

结果仍然是十进制的 1。

电路的行为完全符合普通二进制加法。

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10. 当 A = 1，B = 1 时会发生什么？

这是四种情况中最重要的一种。

现在：

XOR 门计算：

得到：

AND 门计算：

得到：

把两者组合起来：

也就是：

二进制 10 等于十进制的 2。

所以：

这说明仅仅通过 XOR 门和 AND 门，数字电路已经成功完成了一次真正的二进制加法。

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11. 为什么叫“半”加器？

看到这里，一个很自然的问题是：

半加器明明已经能够计算所有可能的：

为什么它还叫 Half Adder——半加器？

原因在于，真正的多位二进制加法还有另外一个问题：

进位。

例如计算：

首先从最低位开始：

当前位写下：

然后把：

进到左边的下一位。

于是，下一列真正需要计算的并不是：

而是：

最后这个 1，就是前一位产生的进位。

这时候，半加器的局限就出现了。

一个半加器只有两个输入：

它没有第三个输入来接收来自前一级的进位。

也就是说，半加器可以计算：

却不能直接计算：

其中：

就是来自低一位的输入进位。

正因为缺少 Carry-in，半加器不能直接作为多位加法器中每一个 bit 的完整加法单元。

这也是它为什么叫做“半加器”。

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12. 半加器与真正的二进制加法

半加器虽然非常简单，但它告诉了我们一个重要事实：

逻辑门可以直接实现算术运算。

它们之间的关系可以概括为：

这里没有软件。

也没有程序在半加器内部解释某条“加法指令”。

表示 0 和 1 的电信号直接进入逻辑门。

逻辑门根据自身的物理结构和布尔逻辑产生输出。

XOR 产生 Sum。

AND 产生 Carry。

于是：

二进制算术直接从数字逻辑中产生出来。

这是理解计算机硬件非常重要的一步。

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13. 从逻辑门走向计算机算术

半加器本身是一个非常小的电路。

但它背后的思想却非常重要。

前面我们已经知道，逻辑门可以实现各种布尔运算，例如：

现在，这些逻辑门开始做一件更加有意思的事情：

算术运算。

只需要：

我们就可以把两个二进制位相加。

但是，真正的计算机当然不会只处理两个 bit。

CPU 需要处理：

甚至更宽的数据。

如果要把许多个 bit 连续相加，就必须解决一个关键问题：

进位必须能够从一个 bit 位置传递到下一个 bit 位置。

这意味着，加法电路还需要增加第三个输入：

一旦加入这个输入，半加器就会演化成一个更加实用的电路：

全加器（Full Adder）。

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Conclusion

半加器（Half Adder） 是数字电路中用于两个二进制位相加的最基本算术电路。

它有两个输入：

以及两个输出：

Sum 的逻辑与 XOR 完全相同：

或者：

Carry 的逻辑与 AND 完全相同：

或者：

因此，一个最基本的半加器只需要：

就是这样一个极其简单的电路，展示了计算机体系结构中的一个重要思想：

算术运算可以直接由逻辑门构建出来。

但是半加器存在一个关键限制：

它不能接收前一个 bit 产生的进位。

如果希望构建能够处理多位二进制数的加法器，就需要一个具有三个输入的电路：

这个电路就是：

全加器（Full Adder）。

接下来，我们将继续看看全加器如何在半加器的基础上解决 Carry-in 问题，以及多个全加器又是怎样连接起来，最终构成 CPU 中真正使用的多位二进制加法器。