计算机可以处理文字、图片、视频、程序、网站、游戏，甚至人工智能。

这一切看起来极其复杂。

但在所有这些复杂功能的最底层，却存在一个出奇简单的基础：

二进制（Binary）。

二进制只使用两个数字：

就是这两个简单的数字，构成了现代数字计算机的基础。

CPU 寄存器保存的是比特，内存保存的是比特，机器指令使用比特编码，文件和网络数据最终也都会变成一串串 0 和 1。

因此，在理解 CPU、内存、数字逻辑以及计算机体系结构之前，我们首先需要真正理解：

二进制到底是什么？

本文主要介绍：

• 什么是二进制
• 为什么计算机使用二进制
• 什么是 Bit 和 Byte
• 二进制的位权
• 二进制如何转换成十进制
• 十进制如何转换成二进制
• n 个 Bit 可以表示多少种状态
• 无符号二进制整数
• 二进制加法

下一篇我们会进一步讨论：

同样的一串 0 和 1，为什么既可以表示数字，也可以表示字符、CPU 指令、内存地址、图片和其他数据。

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1. 什么是二进制？

我们平时使用的是十进制（Decimal）。

十进制又称为 Base 10，因为它一共有 10 个数字：

二进制则不同。

二进制只有两个数字：

所以二进制又称为：

Base 2

例如下面就是一个二进制数：

第一次看到它，很多人可能觉得很奇怪。

实际上，二进制和十进制使用的是完全相同的“位置计数”思想。

每个数字的实际数值，都由它所在的位置决定。

区别只是：

• 十进制使用 10 的幂
• 二进制使用 2 的幂

【英文配图：Decimal vs Binary / Base 10 vs Base 2】

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2. 为什么计算机使用二进制？

一个很自然的问题是：

为什么计算机内部使用 0 和 1？

为什么不能直接使用我们熟悉的十进制？

原因主要来自电子硬件。

数字电路非常适合可靠地区分两种逻辑状态。

例如可以简单理解为：

晶体管组成的电路也可以近似理解为电子开关：

真实的数字电子电路当然比简单的“开”和“关”复杂得多，但这种两状态模型非常重要。

对于电子电路来说，可靠地区分两个电压范围，要比精确地区分 10 个不同电压等级容易得多。

因此：

二进制天然适合数字电子系统。

工程师可以从简单的 0 和 1 开始，一步步构造出：

• Logic Gates（逻辑门）
• Adders（加法器）
• Registers（寄存器）
• Memory Cells（存储单元）
• CPUs
• 完整的计算机

所以二进制并不仅仅是一种数学上的选择。

它与数字硬件的物理实现紧密相关。

【英文配图：LOW/HIGH → 0/1 → Logic Gates → CPU】

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3. 什么是 Bit？

数字信息最基本的单位叫做：

Bit，比特。

Bit 这个词来自：

Binary Digit

也就是“二进制数字”。

一个 Bit 只能拥有两个可能的值：

或者：

因此，一个 Bit 可以表示两种状态。

例如：

也可以表示：

甚至：

至于 0 和 1 究竟代表什么，要由具体系统来决定。

这里最重要的概念是：

一个 Bit 只有两种可能状态。

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4. Bit 越多，可以表示的状态越多

一个 Bit 有两种可能：

两个 Bit 就有四种组合：

三个 Bit 有八种：

每增加一个 Bit，可能的组合数量都会翻倍。

因此有一个非常重要的公式：

也就是：

n 个 Bit 可以产生 2ⁿ 种不同的二进制组合。

例如：

Bit 数量	可表示的组合数量
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
8	256
16	65,536
32	4,294,967,296

例如 5 个 Bit：

所以可以产生 32 种不同的组合。

这也是为什么在很多 CPU 体系结构中，如果需要从 32 个对象中选择一个，只需要一个 5-bit 编号。

【英文配图：1 Bit → 2 / 2 Bits → 4 / 3 Bits → 8 / n Bits → 2ⁿ】

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5. 先理解十进制的位权

在学习二进制位权之前，我们先看一个普通的十进制数：

这里三个数字的价值并不相同。

7 在个位。

2 在十位。

5 在百位。

所以：

实际上表示：

也就是：

它的位权分别为：

每向左移动一位，位权就乘以 10。

这就是为什么十进制叫做：

Base 10。

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6. 二进制的位权

二进制使用完全相同的原理。

区别只是：

每向左移动一位，不是乘以 10，而是乘以 2。

二进制的位权是：

对应：

从右向左：

每向左一位，数值翻倍。

这是理解二进制最重要的基础之一。

【英文配图：Binary Place Values — 128 64 32 16 8 4 2 1】

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7. 如何读取一个二进制数？

来看：

它一共有 4 个 Bit。

对应的位权为：

把它们放在一起：

二进制中的 1 表示：

这个位权需要计算进去。

0 表示：

这个位权不计算。

因此：

实际上就是：

结果为：

所以：

下标 2 表示 Base 2，也就是二进制。

下标 10 表示 Base 10，也就是十进制。

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8. 再看一个二进制转十进制的例子

例如：

这是一个 5-bit 二进制数。

对应位权：

排列起来：

有 1 的位置分别是：

所以：

因此：

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9. 一些应该熟悉的 2 的幂

学习计算机体系结构时，不需要死记非常长的二进制数。

但是最好能够快速认出一些常见的 2 的幂：

在计算机领域，我们会不断看到：

这些数字频繁出现并不是巧合。

这是因为现代计算机建立在二进制基础之上。

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10. 十进制如何转换成二进制？

假设我们要把十进制：

转换成二进制。

先写出位权：

13 中有没有 8？

有。

所以第一位：

剩下：

5 中有没有 4？

有。

第二位也是：

剩下：

1 中有没有 2？

没有。

所以：

最后 1 中有 1：

最终得到：

也就是：

【英文配图：Decimal 13 → 8 + 4 + 1 → 1101】

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11. 除 2 取余法

还有一种非常常见的方法：

不断除以 2，并记录余数。

仍然以 13 为例：

然后从下往上读取余数：

因此：

两种方法得到完全相同的结果。

不过，如果要进一步学习 CPU 和计算机体系结构，最好还是逐渐熟悉 2 的幂和二进制位权。

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12. 什么是 Byte？

一个 Bit 能表示的信息非常有限。

因此计算机通常会把多个 Bit 组合起来使用。

8 个 Bit 组成一个 Byte，也就是一个字节。

例如：

一共有 8 个 Bit，因此就是一个 Byte。

8 个 Bit 可以产生：

种不同的组合。

最小的二进制组合是：

最大的组合是：

如果把它们解释为无符号整数（Unsigned Integer），范围就是：

【英文配图：8 Bits = 1 Byte = 256 Patterns】

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13. 为什么 8 Bit 有 256 个值，最大却只有 255？

这是初学二进制时非常容易混淆的问题。

8 个 Bit 一共有：

种组合。

既然有 256 种组合，为什么最大值不是 256，而是 255？

原因非常简单：

0 本身也占一个数值。

范围实际上是：

从 0 到 255，总共正好有 256 个整数。

因此：

一般来说，n 个 Bit 能表示的最大无符号整数为：

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14. 无符号二进制整数

Unsigned Integer，无符号整数，只表示 0 和正整数。

例如使用 4 个 Bit：

4 个 Bit 有：

种不同状态。

因此范围为：

因为：

同样：

所以一般公式为：

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15. 常见的数据宽度

现代计算机经常使用一些固定的数据宽度：

一个 32-bit 数值就是由 32 个二进制数字组成。

例如：

这里的空格只是为了方便人阅读。

对于计算机来说，这完全可以被看成连续的 32 个 Bit。

随着 Bit 数增加，可以表示的状态数量会以极快的速度增长。

32 个 Bit：

种组合。

64 个 Bit：

种组合。

这也是为什么 8-bit、16-bit、32-bit、64-bit 在计算机体系结构中如此重要。

【英文配图：8-bit → 16-bit → 32-bit → 64-bit】

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16. 二进制加法

计算机不仅保存二进制数据，还必须对它们进行运算。

二进制加法和十进制加法的基本思想非常相似。

只需要记住四种基本情况：

其中最重要的是：

为什么？

在十进制中：

我们把 0 留在当前位，把 1 进到更高一位。

二进制也一样。

因为二进制只有 0 和 1，所以：

等于十进制的 2，而十进制 2 用二进制表示就是：

也就是：

当前位写 0，向下一位进 1。

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17. 一个简单的二进制加法

例如：

先看看它们的十进制值：

所以结果应该是：

进行二进制加法：

而：

因此：

数学运算本身没有改变。

改变的只是数制。

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18. 带进位的二进制加法

再来看：

从最右边开始：

当前位写：

并向左进 1。

下一位又变成：

再次写 0，继续进位。

最终：

十进制就是：

这种 Carry，也就是进位传播，以后学习数字电路中的加法器时非常重要。

【英文配图：Binary Addition / Carry Propagation】

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19. 为什么二进制加法如此重要？

二进制加法看起来只是一个简单的数学问题，但它直接连接到 CPU 硬件。

在处理器内部，有一种专门执行二进制加法的数字电路：

Adder，加法器。

一个最基本的加法器需要解决两个问题：

• 当前位的结果是多少？
• 是否需要向下一位产生 Carry？

通过组合不同的 Logic Gates，就可以完成这些工作。

然后再把许多个基本加法电路连接起来，就可以构造：

• 8-bit Adder
• 16-bit Adder
• 32-bit Adder
• 64-bit Adder

因此：

二进制加法是数字表示与 CPU 硬件之间的一座桥梁。

以后我们介绍 Half Adder、Full Adder、32-bit Adder 和 CPU ALU 时，还会继续回到这里。

【英文配图：Bits → Logic Gates → Adder → CPU】

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20. LSB 和 MSB 是什么？

学习二进制时，还会经常看到两个术语：

LSB

最右边的 Bit 称为：

Least Significant Bit

简称：

LSB

也就是最低有效位。

MSB

最左边的 Bit 称为：

Most Significant Bit

简称：

MSB

也就是最高有效位。

例如：

对于一个 8-bit 无符号整数：

LSB 对应：

MSB 对应：

因此，改变左边高位 Bit，通常会比改变右边低位 Bit 对最终数值产生更大的影响。

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21. 二进制真正重要的是“模式”

刚开始学习二进制时，我们很容易只把它理解为一种表示数字的方法。

但是更重要的概念其实是：

一组 Bit 构成了一种 Pattern，也就是比特模式。

例如：

这是一个 8-bit Pattern。

8 个 Bit 一共有 256 种可能的 Pattern。

但：

究竟代表什么？

它可以代表一个数字。

也可以代表一个字符。

还可以是 CPU 指令的一部分。

甚至可以是图片、音频或者其他数据的一部分。

真正决定含义的，并不是这一串 Bit 本身，而是：

计算机如何解释这串 Bit。

在本文中，我们主要把二进制模式解释为无符号整数。

下一篇，我们就会看到：

完全相同的 0 和 1，可以拥有完全不同的意义。

【英文配图：Same Bits → Number / Character / Instruction / Pixel】

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22. 快速总结

二进制只使用：

每一个二进制数字叫做：

8 个 Bit 组成：

二进制位权是 2 的幂：

n 个 Bit 可以产生：

种不同的组合。

n 个 Bit 所能表示的最大无符号整数为：

二进制加法和十进制加法同样存在进位，其中最基本的规则之一就是：

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结语

二进制是现代计算机最重要的基础之一。

十进制有十个数字，而二进制只需要：

一个二进制数字叫做一个 Bit。

多个 Bit 组合在一起，就可以产生大量不同的二进制模式。

二进制中的每一个位置都是 2 的幂：

理解这些位权以后，二进制和十进制之间的转换就变得非常简单。

8 个 Bit 构成一个 Byte。

一个 n-bit 无符号二进制整数，可以表示：

而二进制加法中的：

看起来虽然简单，却已经开始把我们带向真正的数字硬件。

因为在 CPU 内部，二进制加法并不是由“软件想出来”的。

它是由晶体管、逻辑门和加法器电路真正完成的。

下一篇：

二进制在计算机内部：0 和 1 如何表示数据与指令

我们将进一步讨论同样的二进制模式如何表示：

• 负数
• 字符
• 内存数据
• CPU 寄存器
• 机器指令
• 内存地址
• 图片
• 其他数字数据

最重要的一个概念是：

计算机真正存储的并不是“数字”“文字”或者“指令”。

它存储的是 Bit Pattern——比特模式。

至于这些 0 和 1 究竟代表什么，则取决于我们如何解释它们。