什么是二进制补码？计算机如何表示负数

计算机内部只存储 0 和 1。

如果只处理正整数，这很简单。比如 8 位二进制一共有 256 种组合，可以表示：

但是计算机还需要处理负数。

例如：

问题来了：

硬件内部只有 0 和 1，负号应该怎样表示？

现代计算机通常使用一种叫做 二进制补码，Two’s Complement 的方法来表示有符号整数。

补码最重要的优势是：

正数和负数可以使用同一套二进制加法硬件进行运算。

这也是为什么二进制补码成为现代 CPU 的标准整数表示方式。

---

1. 为什么需要特殊的负数表示方法

假设我们只有 4 个比特。

一共可以产生：

种不同组合。

如果全部按无符号整数解释，那么范围就是：

例如：

但是这里完全没有负数。

如果 CPU 需要计算：

结果应该是：

因此，我们必须拿出一部分二进制模式，用来表示负数。

---

2. 为什么不能直接加一个符号位

一个很自然的想法，是把最左边的一位作为符号位。

例如：

那么 8 位整数就可以写成：

例如：

这种表示方法叫做：

Sign-and-Magnitude，符号加绝对值。

看起来很直观，但是它有明显的问题。

首先，它会产生两个零：

计算机实际上并不需要两个零。

另外，加减法硬件也会变得复杂，因为 CPU 必须先判断符号，再决定怎样计算。

二进制补码解决了这些问题。

---

3. 二进制补码的基本思想

在补码中，正数和普通二进制完全一样。

例如 8 位整数：

负数通常以 1 开头：

这里要特别注意：

虽然最高位可以帮助我们判断正负，但补码并不是简单的“一个符号位加一个数值”。

整个二进制模式共同决定这个数的值。

---

4. 怎样把一个正数变成负数

补码最常见的规则非常简单：

也就是：

例如，我们把：

转换成：

先写出 8 位的正 5：

第一步，所有比特取反：

第二步，加 1：

所以：

这就是 8 位二进制补码中的负 5。

---

5. 为什么 11111111 表示 -1

再看一个非常重要的例子。

正 1 是：

全部取反：

再加 1：

所以：

这也是低级编程中经常看到的情况。

十六进制：

对应二进制：

如果按 8 位无符号整数解释：

如果按 8 位有符号补码解释：

比特完全没有变化。

变化的是解释方式。

---

6. 同样的比特，为什么既可以是 255，也可以是 -1

这是理解计算机数据表示非常重要的一点。

内存只保存比特。

例如：

内存并不知道它是 255，还是 -1。

如果程序把它解释成 unsigned，也就是无符号整数：

如果程序把它解释成 signed two’s complement，也就是有符号补码：

所以：

比特本身没有 signed 或 unsigned 属性。

真正决定意义的是：

• 数据类型
• CPU 指令
• 程序上下文

同样一组二进制数据，可以表示完全不同的值。

---

7. 为什么二进制补码能够工作

8 个比特一共有：

种状态。

8 位二进制运算天然具有一种“环绕”特性。

例如：

如果 CPU 只保留最低 8 位，那么最高的进位会被丢掉。

结果就变成：

也就是说：

这就是固定宽度二进制运算的 wraparound，也就是环绕。

补码正是利用了这个性质。

可以把：

理解成比 0 小一步，也就是：

然后：

依次向下。

---

8. 另一种理解负数的方法

对于一个 n 位补码，如果最高位是 1，可以先把它按无符号数读取，然后计算：

例如 8 位的：

作为无符号数是：

因为：

所以：

再看：

作为无符号数是：

于是：

所以：

这种方法在分析机器码和底层数据时非常方便。

---

9. 为什么 8 位有符号整数范围是 -128 到 127

8 位一共有 256 种二进制组合。

如果按无符号整数解释：

如果按补码有符号整数解释，则分成两部分。

非负数：

负数：

因此 8 位有符号整数的范围是：

一般来说，n 位有符号补码的范围是：

例如 8 位：

也就是：

---

10. 为什么负数比正数多一个

你可能已经注意到：

8 位补码有：

但是只有：

另外还有一个 0。

原因很简单：

补码只有一个零。

不像 sign-and-magnitude 那样存在：

因此，多出来的一个二进制模式可以用来表示：

所以 8 位补码有：

但是没有：

最大的正数只能是：

---

11. 怎样读取一个负补码

假设我们看到：

并且知道它是一个 8 位有符号整数。

最高位是 1，因此它是负数。

可以用“取反加一”的方式找到它的绝对值。

先取反：

再加 1：

得到：

所以原来的数是：

也可以使用前面介绍的快速方法。

11110110 作为无符号数是：

所以：

结果完全一样。

---

12. 补码为什么让加法变得简单

补码最大的硬件优势，是同一个二进制加法器可以同时处理正数和负数。

例如：

8 位的 5 是：

负 3 的补码是：

直接做普通二进制加法：

丢掉最高位进位后：

也就是：

所以：

加法器并不需要知道哪个数是负数。

它只需要正常做二进制加法。

---

13. 减法为什么可以变成加法

补码还可以把减法转换成加法。

例如：

可以变成：

例如：

可以写成：

8 位二进制：

相加：

丢掉最高位进位：

也就是：

因此：

这意味着 CPU 不需要完全独立的加法和减法硬件。

减法可以建立在加法器基础上实现。

---

14. 最高位为什么可以看成负权重

还有一种非常直观的数学理解方式。

普通 8 位无符号整数的权重是：

而 8 位补码的权重可以看成：

注意最高位从：

变成了：

例如：

按照补码权重计算：

得到：

所以也可以直接通过权重计算补码数值，而不必每次都取反加一。

---

15. 什么是 Signed Overflow

固定宽度整数的表示范围有限。

8 位有符号整数只能表示：

如果计算：

127 是：

加 1：

但是：

在 8 位补码中代表：

而不是 128。

原因是：

已经超出了 8 位有符号整数能够表示的范围。

这种情况叫：

Signed Overflow，有符号溢出。

很多 CPU 都提供 overflow flag，用来帮助程序判断这种情况。

---

16. Carry 和 Overflow 不是一回事

Carry，也就是进位，和 overflow 都和算术有关，但两者不是同一个概念。

Carry 更常用于判断无符号运算是否超出范围。

Overflow 则关注：

有符号运算的真实结果是否超出了当前位宽能够表示的范围。

例如：

会产生 signed overflow。

所以在学习 CPU 状态寄存器和算术指令时，一定要区分：

和：

---

17. 什么是 Sign Extension

假设 8 位的负 5 是：

现在需要把它扩展成 16 位。

如果简单在左边补 0：

它就会变成一个正数。

正确的方法叫：

Sign Extension，符号扩展。

做法是复制原来的最高位。

因为负数最高位是 1，所以：

扩展成 16 位后是：

它仍然表示：

正数最高位是 0，所以扩展时高位补 0。

---

18. Zero Extension 和 Sign Extension

再看：

如果它是 8 位无符号整数：

扩展成 16 位时使用 zero extension：

结果仍然是：

但是如果原来的八个比特表示：

就必须使用 sign extension：

这样它仍然表示：

又一次可以看到：

同样的原始比特，因为 signed 和 unsigned 不同，处理方式也会不同。

---

19. C 语言中的 signed 和 unsigned

编程语言直接暴露了这种区别。

例如 C 语言中：

int8_t 是 8 位有符号整数。

范围通常是：

uint8_t 是 8 位无符号整数。

范围是：

假设存储的二进制模式是：

作为：

它代表：

作为：

它代表：

这就是为什么在 C 语言、嵌入式系统和底层编程中，理解 signed 和 unsigned 非常重要。

---

20. 为什么现代 CPU 使用二进制补码

二进制补码能够成为现代计算机的主流表示方式，主要有几个原因。

只有一个零

不需要单独的负零。

正数和负数可以共用加法器

CPU 可以用相同的二进制加法硬件处理正数和负数。

减法可以转换成加法

可以转化为：

符号扩展非常简单

只需要复制最高位。

硬件实现更加简单

很多算术操作都可以共享底层电路。

这也是补码非常适合 CPU 的根本原因。

---

21. 32 位和 64 位整数也是同样的原理

补码并不只适用于 8 位整数。

无论是：

基本原理完全一样。

32 位有符号整数的范围是：

而同样的 32 个比特，如果解释成无符号整数，则范围是：

比特没有变化。

变化的仍然只是解释方式。

---

22. 二进制补码最重要的规则

最后，可以记住下面几条规则。

对于 n 位有符号补码：

表示范围

把正数变成负数

把负补码还原成正数绝对值

快速计算负补码

扩展有符号数

使用：

复制最高位。

---

总结

二进制补码，Two’s Complement，是现代计算机表示有符号整数的标准方法。

正数和普通二进制没有区别。

负数可以通过：

得到。

例如：

取反：

加 1：

所以：

补码只有一个零，并且允许同一个二进制加法器同时处理正数和负数。

8 位有符号整数的范围是：

而同样的 8 个比特，如果按无符号整数解释，则范围是：

这说明了计算机体系结构中一个非常重要的原则：

比特本身并不知道自己是 signed 还是 unsigned。

同一组比特，可以因为数据类型、CPU 指令或者程序上下文不同，而代表完全不同的数值。

理解二进制补码以后，再学习 CPU 算术、整数类型、溢出、符号扩展、汇编语言和 ALU，就会容易很多。

下一步，我们可以继续研究：

二进制加法、半加器、全加器，以及逻辑门如何一步步组成 CPU 内部真正的算术电路。