什么是全加器？Carry-in 如何让二进制加法真正工作

在上一课中，我们介绍了 半加器（Half Adder）。

半加器可以把两个二进制位相加。

它有两个输入：

并产生两个输出：

只需要两个逻辑门：

如果我们只需要计算两个二进制位，这已经足够了。

但真正的计算机几乎不会只处理一个二进制位。

CPU 通常需要处理：

甚至更大的数据。

一旦开始进行多位二进制加法，就会出现一个新的问题：

某一位的计算，可能需要接收前一位产生的进位。

而半加器没有这个输入。

为了解决这个问题，我们需要一个更完整的加法电路：

全加器（Full Adder）。

全加器可以把三个一位二进制输入相加，并产生两个输出：

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1. 半加器的问题

先看一个简单的二进制加法：

从最右边开始：

因此这一位写下：

作为 Sum。

同时产生一个进位：

这个 1 必须送到左边下一位。

于是下一位的计算就不再只是：

而是：

最后这个 1，就是上一位传过来的进位。

问题就在这里。

半加器只有两个输入：

它没有地方接收这个额外的进位。

所以，半加器无法独立完成一般的多位二进制加法。

这正是 全加器 要解决的问题。

全加器增加了第三个输入，让前一位产生的进位可以参与当前这一位的计算。

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2. 三个输入，两个输出

一个全加器有三个输入：

其中：

也就是进位输入。

它产生两个输出：

也就是：

全加器计算的实际上是：

因为三个输入都只有一位，所以最大的情况是：

十进制的 3 用二进制表示就是：

所以两个输出位已经足够：

例如：

结果为：

也就是：

因此，全加器可以处理从：

到：

这 8 种输入组合，并产生一个最多两位的二进制结果。

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3. 全加器真值表

全加器有三个二进制输入。

每个输入都可能是 0 或 1，所以总共有：

种组合。

完整真值表如下：

A	B	Cin	Sum (S)	Carry-out (Cout)
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

这张表已经完整描述了全加器的行为。

接下来，我们分别研究两个输出：

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4. 找出 Sum

先只看 Sum：

A	B	Cin	S
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

这里有一个非常明显的规律。

当三个输入中有奇数个 1 时：

例如：

这正好符合 XOR 的性质。

因此：

用布尔代数符号表示：

为了理解电路，我们可以把它分成两步。

第一步：

这里的 S1 表示第一个半加器产生的中间 Sum。

第二步：

所以最终：

这已经给了我们一个非常重要的提示：

全加器可以用两个半加器连接起来实现。

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5. 找出 Carry-out

现在只看 Carry-out：

A	B	Cin	Cout
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

可以看到：

只要三个输入中至少有两个是 1，Cout 就会变成 1。

例如：

所以：

同样：

也会产生进位。

而：

同样：

Carry-out 的一个常见布尔表达式是：

也可以写成更容易对应实际电路的形式：

如果使用前面定义的中间 Sum：

那么这个式子还可以写成：

这种写法能非常直观地帮助我们理解：

为什么两个半加器再加一个 OR 门，就可以组成一个全加器。

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6. 用两个半加器构造全加器

这是本课最重要的概念之一。

我们并不需要从零开始设计全加器。

前面已经学过半加器，所以可以直接利用已有模块：

就可以组成一个完整的 Full Adder。

整个过程可以分为两个阶段。

第一个 Half Adder

第一个半加器负责计算：

它产生两个输出：

其中：

是第一个半加器产生的中间 Sum。

而：

是第一个半加器产生的 Carry。

概念上：

但是现在还没有结束。

因为我们还有第三个输入：

没有参与计算。

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7. 第二个 Half Adder

第二个半加器接收两个输入：

其中：

于是第二个半加器计算：

并产生：

因此：

也就是：

这就是全加器最终的 Sum 输出。

整个过程实际上非常容易理解：

第一个 Half Adder：

产生：

然后第二个 Half Adder 再计算：

于是第三个输入 Cin 就被加入了整个计算。

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8. 为什么还需要 OR Gate？

现在我们已经有了两个可能的 Carry：

第一个半加器可能产生：

第二个半加器也可能产生：

而：

所以也可以写成：

无论是：

还是：

都意味着整个全加器必须产生：

因此，只需要用一个 OR Gate 把这两个 Carry 合并：

完整结构可以表示为：

因此，这种最直观的 Full Adder 实现一共使用：

也就是：

两个半加器 + 一个 OR 门。

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9. 完整计算一个例子

假设：

我们要计算：

结果应该是：

下面看看电路是怎样一步一步算出来的。

第一个 Half Adder

首先计算：

也就是：

因此：

再计算 Carry：

所以：

第一个半加器得到：

第二个 Half Adder

接下来，把：

和：

相加。

也就是：

Sum 为：

因此：

第二个 Carry 为：

所以：

现在我们有：

最后经过 OR Gate：

所以：

得到：

最终结果：

也就是：

与：

完全一致。

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10. Half Adder vs. Full Adder

现在，半加器和全加器之间的区别已经非常清楚了。

Half Adder

输入：

输出：

它计算：

Full Adder

输入：

输出：

它计算：

所以，两者最重要的区别，并不仅仅是 Full Adder 使用了更多逻辑门。

真正关键的区别是：

Full Adder 可以接收前一个二进制位产生的 Carry-in。

正因为有了：

我们才能把多个 Full Adder 一个接一个连接起来。

这也是全加器能够处理多位二进制运算的根本原因。

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11. 从一个 Full Adder 到多位二进制加法

现在我们终于可以看到 Full Adder 真正重要的地方。

假设需要把两个 4-bit 二进制数相加：

我们可以为每一个 bit 使用一个 Full Adder。

也就是：

更完整地表示：

关键在于：

前一级 Full Adder 的 Carry-out，会成为下一级 Full Adder 的 Carry-in。

也就是：

这样，多个只会计算一位的 Full Adder，就可以共同完成一个完整的多位二进制加法。

一个非常小的逻辑模块，就这样开始扩展成真正接近 CPU 内部算术电路的结构。

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12. 为什么 Full Adder 很重要？

Full Adder 看起来只是一个很小的数字电路。

但它解决了二进制运算中一个极其重要的问题：

如何把一个 bit 位置产生的信息传递给下一个 bit 位置。

一个 Full Adder 处理一个 bit。

多个 Full Adder 连接起来，就可以处理很多 bit。

整个发展过程可以表示为：

我们最开始学习的是：

这些非常简单的布尔逻辑操作。

然后，我们把它们组合成：

再加入 Carry-in，得到：

接着，把多个 Full Adder 连接起来，就可以得到：

也就是说：

计算机中的二进制算术，并不是一个神秘的软件过程。

它可以直接从最基础的逻辑门，一层一层构造出来。

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Conclusion

**Full Adder（全加器）**是一种可以把三个一位二进制输入相加的数字电路。

它有三个输入：

和两个输出：

Sum 的逻辑表达式是：

Carry-out 可以写成：

一个最直观的 Full Adder 可以由：

构成。

第一个 Half Adder 计算：

并产生中间 Sum：

以及：

第二个 Half Adder 再计算：

得到最终的：

以及第二个 Carry：

最后 OR Gate 将：

合并成：

Full Adder 相比 Half Adder 最重要的升级，就是增加了：

正因为可以接收前一个 bit 位置产生的进位，一个 Full Adder 才能与下一个 Full Adder 连接。

于是：

就能够进一步扩展成：

的多位加法器。

那么接下来，一个自然的问题就是：

如果把多个 Full Adder 连在一起，Carry 一个接一个往前传，会发生什么？

这就引出了下一种非常重要的数字电路：

Ripple-Carry Adder（行波进位加法器）。